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Teorema de Moivre

Teorema de Moivre

Si multiplicamos n números complejos, a partir de la expresión del producto de dos números complejos obtenemos que el producto de n números complejos equivale a un complejo cuyo módulo es el producto de los n módulos y el argumento, la suma de los n argumentos. De esta forma:

z1z2z3…zn=r₁r₂r₃…r_n{cos(ø₁+ ø₂+ ø₃+…+ ø_n)+i sin(ø₁+ ø₂+ ø₃+…+ ø_n)}

Tomando todos los complejos iguales z₁= z₂= z₃=...= z_n la expresión anterior queda

como:

zⁿ = rⁿ{cos(nø)+ j sin(n ø )}

Por otro lado, la n-ésima potencia del número complejo z también puede expresarse, lógicamente como:

zⁿ = {r(cos(ø )+ j sin(ø ))}ⁿ

y igualando las dos últimas expresiones llegamos al Teorema de Moivre:

zⁿ = {r(cos(ø)+ j sin(ø ))}ⁿ = rⁿ (cos(n ø )+ j sin(n ø ))

Mapa Mental Numeros Complejos

Bibliografia Hamilton

Fecha de nacimiento: 04 de agosto 1805 en Dublín, Irlanda
Murió: 02 de septiembre 1865 en Dublín, Irlanda

Hamilton no había tenido una educación universitaria y se piensa que el genio de Hamilton vino de su madre. A la edad de cinco años, William ya había aprendido latín, griego y hebreo. Se le enseñó esos temas por su tío, el reverendo James Hamilton, quien vivía con William en Trim durante muchos años.

William pronto aprendió idiomas, sino un punto de inflexión se produjo en su vida a la edad de 12 años cuando conoció a la estadounidense Zera Colburn.Colburn podría realizar increíbles proezas aritméticas mentales y Hamilton se ha unido en las competiciones de habilidad aritmética con él. Parece que la pérdida de Colburn despertó el interés de Hamilton en las matemáticas.

Hamilton llegó a la edad de 13 años cuando estudió Clairaut Álgebra 's, una tarea algo más fácil ya que Hamilton era fluido en francés por el momento. A los 15 años comenzó a estudiar las obras de Newton y Laplace .  En 1822 Hamilton encontrado un error en Laplace 's Mécanique Céleste y, como resultado de esto, llegó a la atención de John Brinkley.

Hamilton ingresó en el Trinity College de Dublín a la edad de 18 años y en su primer año obtuvo un "Optime 'en Clásicos, una distinción sólo se concede una vez en 20 años.

En 1826, Hamilton recibió una 'optime' tanto en la ciencia y Clásicos, que era algo inaudito, mientras que en su último año como estudiante universitario que presentó una teoría de los sistemas de memorias de los rayos de la Real Academia Irlandesa . Es en este documento que Hamilton introdujo la función característica de la óptica.

Finales de Hamilton examinador, Boyton, lo convenció para que se aplican para el cargo de astrónomo real en el observatorio de Dunsink incluso aunque ya había habido seis candidatos, uno de ellos era George Biddell Airy .  Más tarde, en 1827, la Junta nombró al profesor Hamilton Andrews de la Astronomía en el Trinity College cuando aún era un estudiante en edad de veintiún años. La cátedra lleva el título honorífico de Astrónomo Real de Irlanda y el beneficio de residir en el Dunsink Observatorio. Este nombramiento trajo una gran polémica ya que Hamilton no tenía mucha experiencia en la observación.  Su predecesor, el profesor Brinkley, quien se había convertido en un obispo, no pensaba que había sido la decisión correcta para Hamilton a aceptar el cargo y sugirió que habría sido prudente que haber esperado a una beca. Resultó que Hamilton había hecho una mala elección ya que perdió el interés por la astronomía y la pasan todo el tiempo en las matemáticas.

En 1832, Hamilton publicó este tercer suplemento a la Teoría de los Sistemas de Rayos que es esencialmente un tratado sobre la función característica aplicada a la óptica. Cerca del final de la obra que aplica la función característica para estudiar Fresnel superficie "s de las olas. A partir de este predijo cónica de refracción y le preguntó al profesor de Física en el Trinity College, Humphrey Lloyd, para tratar de comprobar su predicción teórica experimental. Este Lloyd hizo dos meses más tarde y esta predicción teórica trajo gran fama a Hamilton. Sin embargo, también dio lugar a la controversia con MacCullagh , que había llegado muy cerca del descubrimiento de sí mismo, sino teórico, se vio obligado a admitir que no había tenido en el último paso.

El 04 de noviembre 1833 Hamilton leyó un documento a la Real Academia Irlandesa expresar los números complejos como parejas algebraicas, o pares ordenados de números reales. Él utilizó el álgebra en el tratamiento de la dinámica de un método general en la dinámica en 1834. En este trabajo Hamilton dio su primera declaración de la función característica aplicada a la dinámica y escribió un segundo artículo sobre el tema el año siguiente. 

Hamilton presentó sus argumentos con gran economía, como de costumbre, y su enfoque era totalmente diferente del que ahora comúnmente se presentan en los libros de texto que describen el método. En los dos ensayos sobre la dinámica de Hamilton aplica por primera vez la característica función V de la dinámica así como él tenía en la óptica, la función característica de ser la acción del sistema en moverse desde el inicial hasta su punto final en el espacio de configuración. Por su ley de la variación de la acción que hizo las coordenadas iniciales y finales de las variables independientes de la función característica. Para los sistemas conservadores, el total de energía H fue constante a lo largo de cualquier camino real, pero variaba si los puntos inicial y final fueron variadas, y por lo que la función característica en la dinámica se convirtió en una función de los 6 coordenadas n de posición inicial y final (por n partículas) y la H”. Hamilton

Hamilton fue nombrado caballero en 1835 y ese mismo año su segundo hijo, Archibald Henry, nació, pero en los próximos años no le trajo mucha felicidad.  Tras el descubrimiento de las parejas algebraicas, trató de extender la teoría a trillizos, y esto se convirtió en una obsesión que lo atormentaba desde hace muchos años.El otoño siguiente se fue a Bristol para una reunión de la Asociación Británica, y Helen llevó a los niños con ella a Bayly Farm durante diez meses. Su primo Arturo murió, y no mucho después de que Helen regresó de su madre que ella se fue de nuevo a Inglaterra este tiempo dejan a los niños después del nacimiento de una hija, Helen Eliza Amelia.  En este punto, William se deprimió y comenzó a tener problemas con el alcohol por lo que su hermana regresó a vivir a Dunsink.   

 Y aquí me di cuenta de la noción de que debemos admitir, en algún sentido, una cuarta dimensión del espacio con el fin de calcular con los triples ... Un circuito eléctrico parecía cerrarse, y una chispa brilló.

Él no pudo resistir el impulso de tallar las fórmulas de los cuaterniones

i ² = j ² = k ² = i j k = -1. i ² = j ² = k ² = i j k = -1.  

En 1958, la Real Academia de Irlanda erigió una placa conmemorativa de este.

Hamilton sentía que este descubrimiento podría revolucionar la física matemática y pasó el resto de su vida trabajando en cuaterniones.

Bibliografia Girolamo Cardano

Nació el 24 de septiembre de 1501 en Pavía y murió el 21 de septiembre de 1576 en Roma, Fue médico, astrólogo, matemático y autobiográfico.

Educado en la Universidad de Pavía y Padua, recibe el título en Medicina, se traslada a Milán donde intenta ejercer la Medicina pero debido a su mala reputación fue rechazado continuamente por el Colegio de Médicos viviendo en extrema pobreza hasta llegar a ser profesor de matemáticas, aunque en 1539 ingresa en la escuela de medicina llegando a ser rector.

Fue profesor de Matemáticas en las Universidades de Milán, Pavía y Bolonia, teniendo también que dimitir de todas ellas siempre por algún escándalo relacionado con él.

También fue un ardiente astrólogo, llevaba amuletos y predecía el futuro durante las tormentas.

En 1570 fue encarcelado acusado de hereje por realizar el horóscopo de Jesucristo y escribir el libro "En homenaje a Nerón" odia emperador anticristiano. Después de algunos meses es liberado perdiendo su posición como profesor y su derecho a publicar libros. Se trasladó a Roma como astrólogo papal donde redactó su autobiografía que terminó una semana antes de su muerte.

ANÉCDOTAS

• A los números negativos como raíces de ecuaciones las llamó "ficticias"
• A las raíces imaginarias las denomina " sofisticadas"
• Empleaba el símbolo R_x,m ( del latín , Radix minus).
• Divulgó una fórmula para resolver un tipo de ecuaciones de tercer grado que era de Tartaglia.
• También divulgo un método para resolver las ecuaciones cuadráticas que era de Lodovico Ferrari (que era su secretario y discípulo).
• Escribió el primer libro sobre juegos de azar.

LIBROS  ESCRITOS

Escribió 21 libros de matemáticas.

"Practica aritmética et mensurandi singularis" ( 1539) fue su primer tratado matemático.

" Ars magna" (1945) referencial al álgebra.

" Liber de Ludo Aleae" ( Libro de los juegos de azar) en el cual presenta los primeros cálculos sistemáticos de probabilidades de los que aprovecho su experiencia como jugador.

" De subtiliate rerum" ( La sutileza de las cosas) donde un conjunto de experimentos e invenciones están intercalados con anécdotas.

" In Cl.Ptolomaeai Peleneusis III......" (1554) dedicada a los comentarios sobre Ptolomeo e incluye los horóscopos de Enrique VIII, Erasmo, Jesucristo y el suyo propio.

“De propia Vita" su autobiografía que apareció póstuma (1643) y en la que no escatima vicios ni defectos.

"De astrorum indiciis", que contenía el horóscopo de Cristo.

"Opus novum de proportionibus", en el que intentó aplicar métodos cuantitativos a la física.

Dos enciclopedias de Ciencias Naturales.

PRINCIPALES APORTACIONES A LAS MATEMÁTICAS

• Ideó en mecánica un sistema de suspensión y transmisión (suspensión Cardan)
• Introdujo un método regular de reducción de la ecuación cúbica general en la que faltaba el término cuadrado de la incógnita mediante la sustitución y lo extendió a la ecuación de cuarto grado.
• Trató de encontrar un sistema científico universal combinando la observación empírica en medicina o matemáticas con los métodos ocultos de la astrología y la alquimia
• Utilizó los números irracionales siguiendo la tradición hindú y árabe
• Demostró que descomponer el número 10 en dos partes cuyo producto fuera igual a 40 no tiene solución racional pero obtuvo las soluciones
• Fue el primero en "trabajar" con números imaginarios (raíces de números negativos)
• Dio la primera descripción clínica de fiebre tifoidea