Teorema de Moivre

Teorema de Moivre

Si multiplicamos n números complejos, a partir de la expresión del producto de dos números complejos obtenemos que el producto de n números complejos equivale a un complejo cuyo módulo es el producto de los n módulos y el argumento, la suma de los n argumentos. De esta forma:

z1z2z3…zn=r₁r₂r₃…r_n{cos(ø₁+ ø₂+ ø₃+…+ ø_n)+i sin(ø₁+ ø₂+ ø₃+…+ ø_n)}

Tomando todos los complejos iguales z₁= z₂= z₃=...= z_n la expresión anterior queda

como:

zⁿ = rⁿ{cos(nø)+ j sin(n ø )}

Por otro lado, la n-ésima potencia del número complejo z también puede expresarse, lógicamente como:

zⁿ = {r(cos(ø )+ j sin(ø ))}ⁿ

y igualando las dos últimas expresiones llegamos al Teorema de Moivre:

zⁿ = {r(cos(ø)+ j sin(ø ))}ⁿ = rⁿ (cos(n ø )+ j sin(n ø ))